помогите решить lim х стремяшиеся к бесконечности (1+1/3х)^х

0 голосов
52 просмотров

помогите решить lim х стремяшиеся к бесконечности (1+1/3х)^х

Алгебра (57.1k баллов) | 52 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

Решите задачу:

\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{3x})^x=\{\frac{1}{3x}=\frac{1}{a}, a=3x, x=\frac{1}{3}a, x \to \infty, a \to \infty \} = \\ \lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{a})^{\frac{1}{3}a}=\lim_{x \to \infty} ((1+\frac{1}{a})^a)^{\frac{1}{3}}= \\ (\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{a})^a)^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{3}}

(93.5k баллов)
0 голосов

Это второй замечательный предел:

Нужно только сделать некоторые преобразования:

Сделаем замену t=3x

Поскольку image\infty" alt="x->\infty" align="absmiddle" class="latex-formula"> то и image\infty" alt="3x ->\infty" align="absmiddle" class="latex-formula">

Перепишем наш предел с учетом этой замены:

\lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^{\frac{t}{3}}= \\ =\lim_{t \to \infty} ((1+\frac{1}{t})^{t})^{\frac{1}{3}} 

Поскольку известно что:

\lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^{t}=e 

то

 \lim_{t \to \infty} ((1+\frac{1}{t})^{t})^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{e}

 

 Ответ: \lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{3x})^x=\sqrt[3]{e}

(998 баллов)
Похожие задачи