Найти производную модуля числа x при x не равном нулю а также производную дробной части...

$y=|x|\\ y'=\frac{x}{|x|}\\$
интеграл от нее , известно что равен
$\int\limits { \frac{x^2}{2}*sgn(x)+C}$ , хотя по сути можно упрощение сделать. Это лишь формальности

По формуле
$(x)=x-[x]$ , где $[x]$ целая часть числа.
По свойству кусочных функций , сама дробная часть имеет период $T=1$ , это видно из графика .
И она очевидно разрывна , что уже говорит что у нее производная будет равна
${x}'=1$
Интеграл можно "раздробить" ориентируясь по графику , можно заметить то что площадь есть сумма площадей прямоугольных треугольников , длинами катетов равными 1 и 1 .
Если брать общее число каких то площадей , то тут суммарно не разберешься , если же какой та определенный кусок есть .
к примеру от $0$ до $"n"$ , то площадь этих треугольников , равна $\frac{1*1}{2}$ , если же перейти к примеру то
$\int\limits^n_0 \frac{[x]}{2}^2+\frac{(x)}{2}^2 +C$