В геометрической прогрессии с положительными членами S2=4, S3=13. Найти S5

Question

В геометрической прогрессии с положительными членами S2=4, S3=13. Найти S5

Answer 1

0 \ \wedge \ q>1 \\ \\a_3=13-4=9 \\ \\a_1+a_2=4 \\ \\\begin{cases}a_1*q^2=9\implies a_1=\frac{9}{q^2}\\a_1+a_1q=4\end{cases} \\ \\\frac{9}{q^2}+\frac 9q=4/*q^2 \\ \\4q^2-9q-9=0 \\ \\\Delta=9^2+4*4*9=81+144=225 " alt="\\a_3=S_3-S_2, \ a_n>0 \ \wedge \ q>1 \\ \\a_3=13-4=9 \\ \\a_1+a_2=4 \\ \\\begin{cases}a_1*q^2=9\implies a_1=\frac{9}{q^2}\\a_1+a_1q=4\end{cases} \\ \\\frac{9}{q^2}+\frac 9q=4/*q^2 \\ \\4q^2-9q-9=0 \\ \\\Delta=9^2+4*4*9=81+144=225 " align="absmiddle" class="latex-formula">

Answer 2

Если члены прогрессии положительны, то она имеет вид
1; 3; 9; 27; 81...
Сумма первых пяти членов равна 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121

По формуле суммы первых двух членов прогрессии:
b1(1-q^2)/(1-q) = 4, откуда b1(1+q) = 4, или b1 = 4/(1+q)
По формуле суммы первых трех членов прогрессии:
b1(1-q)(1+q+q^2) = 13(1-q), откуда b1(1+q+q^2) = 13.
Выполняем подстановку:
4(1+q+q^2) /(1+q)= 13, откуда q = 3 (отрицательное значение знаменателя отбрасываем, так как нас интересуют только положительные члены)
b1 = 4/(1+3) = 1

Итак, первый член прогрессии равне 1, знаменатель прогрессии равен 3.
S5 = 1(1 - 3^5)/(1-3) = 121

Ответ: 121