Найти все натуральные n>3, для которых n^3-3 делится ** n-3

Question

Найти все натуральные n>3,

для которых n^3-3 делится на n-3

Answer 1

N^3-3 = n^3 - 3n^2 + 3n^2 - 9n + 9n - 27 + 24 = n^2(n-3) + 3n(n-3) + 9(n-3) +24 = (n^2+3n+9)(n-3)+24

n^3-3 делится на n-3 => (n^2+3n+9)(n-3)+24 делится на n-3 => Каждое из слагаемых делится на n-3

1) Очевидно, что (n^2+3n+9)(n-3) делится на n-3
2) 24 делится на n-3 => 24/(n-3) - целое число. Это возможно, если
n-3=1
n-3=2
n-3=3
n-3=4
n-3=6
n-3=8
n-3=12
n-3=24

Ответ: n = 4; 5; 6 ; 7; 9; 11; 15; 27

Comments

можете обьяснить чуть-чуть, а то не понятно что вы делаете?

---

Нам известно, что n^3-3 делится на n-3. Мы делаем следующие преобразования, чтобы получить одно слагаемое, которое точно делится на n-3 (поэтому мы стараемся выделить множитель n-3), и чтобы второе слагаемое было свободным членом (то есть числом, которое не стоит при переменной n), по которому мы и будем находить интересующие нас n.

---

благодарю.

---

а от куда взялось 24?

---

Когда мы старались выделить множитель (n-3), у нас появлялось число (-27), а изначально у нас было (-3), поэтому мы прибавляем 24

---

Для наглядности, можете записать так: n^3-3 = n^3 - 3n^2 + 3n^2 - 9n + 9n - 27 + 27 - 3 = n^3-3 = n^3 - 3n^2 + 3n^2 - 9n + 9n - 27 + 24

---

спасибо