Найдите центральный угол вписанного n-угольника, если радиус вписанной в него окружности...

Question

Найдите центральный угол вписанного n-угольника, если радиус вписанной в него окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. СПС)))

Comments

В правильном треугольнике это выполнено. Центральный угол стороны 120°. А вообще r = R*cos(α/2); для углов в интервале от 0° до 120° косинус половины угла монотонно убывает от 1 до 1/2. Так что это единственный случай.

Answer 1

R=a/2sin(180/n)
r=a/2tg(180/n)
a/2sin(180/n)=2a/2tg(180/n)
tg(180/n)=2sin(180/n)
tg(180/n)-2sin(180/n)=0
(sin(180/n)-2sin(180/n)cos(180/n)=0,  cos(180/n)≠0
sin(180/n)(1-2cos(180/n))=0
sin(180/n)=0⇒180/n=0⇒нет решения
cos(180/n)=1/2⇒180/n=60⇒n=3⇒равносторонний треугольник