0,25*(4^(5x-16))=((√2)/4)^-x

Question

Дан 1 ответ

Vitaliy20_zn · Answer 1 · 2018-03-19T01:47:42+0000

$0.25*4^{5x-16} = \frac{\sqrt{2} }{4}^{-x}$
Это уравнение является показательным, так как переменная находится в показателе степени. Чтобы его решить, необходимо придти к простейшему виду показательных уравнений.
Прежде всего, представим десятичную дробь $0.25 = \frac{25}{100}$ и сократим её на 25. Получим $\frac{1}{4}$
Четверку представим, как $2^{2}$ .
Корень из двух, по свойству степеней представим как $2^{ \frac{1}{2} }$
Теперь мы получили следующее уравнение:
$\frac{1}{4} *( 2^{2} )^{5x-16} = (\frac{ 2^{ \frac{1}{2} }}{4})^{-x}$
При возведении степени в степень показатели степени перемножаются. Используем это свойство для $( 2^{2} )^{5x-16} = 2^{2*(5x-16)}$ и получим $2^{10x-32}$
Избавимся от отрицательного показателя, зная, что для этого нам просто необходимо "перевернуть" дробь: $(\frac{4}{ 2^{ \frac{1}{2}}})^{x}$
Мы получили, что уравнение теперь стало таким:
$\frac{1}{4} * 2^{10x-32} = (\frac{4}{ 2^{ \frac{1}{2}}})^{x}$
Зная, что $\frac{1}{4} = 4^{-1} = 2^{-2}$ и $4 = 2^{2}$ получим
$2^{-2} * 2^{10x-32} = (\frac{ 2^{2} }{ 2^{ \frac{1}{2}}})^{x}$
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются, а при умножении складываются. Используя это свойство преобразуем наше уравнение:
$2^{10x-32-2} = (2^{2- \frac{1}{2}} )^{x}$
Произведем алгебраические действия с данным уравнением и получим простейшее показательное уравнение:
$2^{10x-34} = 2^{\frac{3x}{2}}$

Так как основания степени одинаковые, то для решение этого уравнение надо просто прировнять показатели и получим:

$10x-34 = \frac{3x}{2}$
Домножим это уравнение на 2.
$20x-68 = 3x$
$20x-3x= 68$
$17x=68$
$x = 4$

Ответ: $x = 4$