Решите уравнение |x-4|+x*|x-4|+x+1=0

$|x-4|+x\cdot |x-4|+x+1=0$

1) пусть $x \geq 4$ , значит под модулем не отрицательное число, поэтому модуль можно просто опустить

$x-4+x\cdot(x-4)+x+1=0\\ x^2-2x-3=0\\ D=4+12=16\\ \\ x_1= \dfrac{2+4}{2} =3;\quad x_2= \dfrac{2-4}{2} =-1$

оба корня не удовлетворяют условию $x \geq 4$ , значит они не являются решением

2) пусть $x<4$ , значит под модулем отриц.число, поэтому когда будем раскрывать модуль , будем менять знак
$-x+4+x\cdot (-x+4)+x+1=0\\ x^2-4x-5=0\\ D=16+20=36\\ \\ x_1= \dfrac{4+6}{2}=5;\quad x_2= \dfrac{4-6}{2}=-1$

условию $x<4$ удовлетворяет только второй корень, значит ответ х=-1