Помогите пожалуйста решить!!!!!! Необходимо решение через 1 замечательный предел....

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Первый замечательный предел $lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$
Вместо х может быть любая функция, стремящаяся к 0.
Из формулы тригонометрической единицы и косинуса двойного угла выведем формулу для вычисления разности 1 и косинуса.

$cos2 \alpha =cos^2 \alpha -sin^2 \alpha =(1-sin^2 \alpha )-sin^2 \alpha =1-2sin^2 \alpha \; \to \\\\2sin^2 \alpha =1-cos2 \alpha ,\\\\Esli\; 2\alpha=3x,\; to\; \frac{2 \alpha }{2}= \alpha =\frac{3x}{2}\; \to \; 1-cos3x=2sin^2\frac{3x}{2}$

$lim_{x\to 0}\frac{1-cos3x}{x\cdot sin^2x}=lim_{x\to 0}\frac{2sin^2\frac{3x}{2}}{x\cdot sinx\cdot sinx}=\\\\=2\cdot lim_{x\to 0}\frac{(\frac{sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\cdot \frac{2}{3x})\cdot (\frac{sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\cdot \frac{2}{3x})}{x\cdot (\frac{sinx}{x}\cdot x)\cdot (\frac{sinx}{x}\cdot x)}=\\\\=2\cdot lim_{x\to 0}\frac{1\cdot \frac{2}{3x}\cdot 1\cdot \frac{2}{3x}}{x\cdot 1\cdot x\cdot 1\cdot x}=2\cdot lim_{x\to 0}\frac{4}{9x^5}=[2\cdot \frac{4}{0}]=[\frac{8}{0}]=\infty$

Если воспользоваться заменой эквивалентных бесконечнр малых величин, то будет всё проще записано и быстрее решено.
sinx эквивалентен х, поэтому

$.....=lim_{x\to 0}\frac{2sin^2\frac{3x}{2}}{x\cdot sin^2x}=lim_{x\to 0}\frac{2\cdot (\frac{3x}{2})^2}{x\cdot x^2}=lim_{x\to 0}\frac{9x^2}{2x^3}=\\\\=lim_{x\to 0}\frac{9}{2x}=[\frac{9}{0}]=\infty$

NNNLLL54_zn (829k баллов) 19 Март, 18