Найдите наименьшее значение выраженияx/y + z/t, если 16≤x≤y≤z≤t≤25

Question 1

Найдите наименьшее значение выражения
x/y + z/t, если 16≤x≤y≤z≤t≤25

Question 2

$16 \leq x \leq y \leq z \leq t \leq 25\\\\ \frac{x}{y}+\frac{z}{t}=f$
Видно сумма дробей будет наименьшая когда
$x=16\\ t=25$ числитель наименьший , знаменатель наибольший.
$\frac{16}{y} + \frac{z}{25}=f\\\\ \frac{400+yz}{25y}=f\\\\$
видно что минимум будет тогда когда $y=z$
Докажем

y\\\\ \frac{400+y^2}{25y} = A\\\\ \frac{400+y^2+yb}{25y} = A+\frac{yb}{25y}>A" alt="z=y+b\\ z>y\\\\ \frac{400+y^2}{25y} = A\\\\ \frac{400+y^2+yb}{25y} = A+\frac{yb}{25y}>A" align="absmiddle" class="latex-formula">
$\frac{400+y^2}{25y}=f\\ f'=\frac{1}{25} - \frac{16}{y^2}\\ f'=0\\ y=20\\\\ f=\frac{8}{5}$

Ответ $\frac{8}{5}$

Матов_zn · Answer 1 · 2018-03-19T12:22:57+0000

$16 \leq x \leq y \leq z \leq t \leq 25\\\\ \frac{x}{y}+\frac{z}{t}=f$
Видно сумма дробей будет наименьшая когда
$x=16\\ t=25$ числитель наименьший , знаменатель наибольший.
$\frac{16}{y} + \frac{z}{25}=f\\\\ \frac{400+yz}{25y}=f\\\\$
видно что минимум будет тогда когда $y=z$
Докажем

y\\\\ \frac{400+y^2}{25y} = A\\\\ \frac{400+y^2+yb}{25y} = A+\frac{yb}{25y}>A" alt="z=y+b\\ z>y\\\\ \frac{400+y^2}{25y} = A\\\\ \frac{400+y^2+yb}{25y} = A+\frac{yb}{25y}>A" align="absmiddle" class="latex-formula">
$\frac{400+y^2}{25y}=f\\ f'=\frac{1}{25} - \frac{16}{y^2}\\ f'=0\\ y=20\\\\ f=\frac{8}{5}$

Ответ $\frac{8}{5}$