Все очень просто, если бы не арифметика....
Четырехугольник задан координатами его вершин, значит имеем дело с векторами. Выпуклый многоугольник - многоугольник, все углы которого меньше 180°.
Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.
Для нахождения угла А:
1) находим координаты векторов АВ и АD (угол А между ними) :
АВ={Xb-Xa;Yb-Ya} = {5-4;7-4} = {1;3}
AD={12-4;4-4} = {8;0}
2) Находим скалярное произведение векторов АВ и АD:
AB*AD= Xab*Xad + Yab*Yad = 8+0=8
3) Находим модули векторов АВ и АС:
|AB| = √(X²+Y²) = √(1+9) = √10
|AD| = √(64+0) = 8
CosA= AB*AD/(|AB|*|AD|) = 8/8√10 ≈ 0,316 Угол А ≈ 72°.
Для нахождения угла В:
1) находим координаты векторов ВА и BС (угол В между ними) :
BA={Xa-Xb;Ya-Yb} = {4-5;4-7} = {-1;-3}
BC={10-5;10-7} = {5;3}
2) Находим скалярное произведение векторов BA и BС:
BA*BC= Xba*Xbc + Yba*Ybc = (-5)+(-9)= -14
3) Находим модули векторов BA и BС:
|BA| = √(X²+Y²) = √(1+9) = √10
|BC| = √(25+9) = √34
CosВ= ВА*ВС/(|ВА|*|ВС|) = -14/√340 ≈ -0,759 Угол В ≈ 139°.
Для нахождения угла C:
1) находим координаты векторов CB и CD (угол C между ними) :
CB={5-10;7-10} = {-5;-3}
CD={12-10;4-10} ={2;-6}
2) Находим скалярное произведение векторов CB и CD:
CB*CD= Xcb*Xcd + Ycb*Ycd = (-10)+(18)= 8
3) Находим модули векторов CB и CD:
|CB| = √(X²+Y²) = √(25+9) = √34
|CD| = √(4+36) = √40
CosC= CB*CD/(|CB|*|CD|) = 8/36,88 ≈0,217 Угол C ≈ 77°.
Для нахождения угла D:
1) находим координаты векторов DC и DA (угол D между ними) :
DC={10-12;10-4} = {-2;6}
DA={4-12;4-4} ={-8;0}
2) Находим скалярное произведение векторов DC и DA:
DC*DA= Xdc*Xda + Ydc*Yda = (16)+(0)= 16
3) Находим модули векторов DC и DA:
|DC| = √(X²+Y²) = √(4+36) = √40
|DA| = √(64+0) = 8
CosD= DC*DA/(|DC|*|DA|) = 16/16√10 ≈0,316 Угол D ≈ 72°.
Все углы четырехугольника меньше 180°, значит он выпуклый, что и надо было проверить.
Проверим арифметику: сумма углов нашего четырехугольника равна:
72°+139°+77°+72° = 360°. На удивление, совпало.