Доказать неравенство : tgA*tgB<1, если A и B - острые углы тупоугольного треугольника

Question

Доказать неравенство : tgA*tgB<1, если A и B - острые углы тупоугольного треугольника</p>

Answer 1

Доказательство: A и B  -  острые углы тупоугольного треугольника, значит угол С тупой и

0

cos C<0,cos A>0,cos B>0 (*)

 tgA*tgB<1 равносильно неравенству</p>

tgA*tgB-1<0</p>

Рассмотрим левую часть неравенства, используя тригонометрические формулы

tg x=sin x\cos x

cos (A+B)= cosA*cosB- sinAsinB

cos(180-A)=-cos A

и соотношение углов треугольника A+B+C=180 и учитывая (*):

tgA*tgB-1=sinA\cos A*sin B\cos B-1=(sinAsinB-cosA*cosB)\(cos A*cos B)=

=-cos(A+B)\(cos A*cos B)=cos(180-(A+B))\(cos A*cos B)=cos C\(cos A*cos B)<0,</p>

А значит tgA*tgB-1<0, или tgA*tgB<1, что и требовалось доказать.</p>