Окружности радиусов 3 и 6 с центрами соответственно в точках и O1 и O2 касаются внешним...

Question

Окружности радиусов 3 и 6 с центрами соответственно в точках и O1 и O2 касаются внешним образом в точке A. К окружностям проведены общая внешняя касательная и общая внутренняя касательная. Эти касательные пересекаются в точке B, а L — общая точка внешней касательной и окружности радиуса 3. Найдите R радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABLO2. В ответ записать R(корень из 2+1)

Comments

L — общая точка внешней касательной и окружности радиуса 3 с центром О1, а найти надо радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABLO2? Такого четырехугольника не может быть. Может АВLO1? Или может L точка на окружности с центром 2? Проверь и я реше

---

Ну да, верно. Я и не заметил, как всегда в таких случаях. Наверно речь идет о ABLO1, так как O1 - центр малой окружности. Я у себя в решении переправлю.

Answer 1

BO2 - биссектриса угла ABL, а BO1 - биссектриса его дополнительного угла, поэтому треугольник O1O2B - прямоугольный. AB в нем - высота к гипотенузе, и делит её на отрезки 3 и 6. Поэтому AB^2 = 3*6 = 18; AB = 3√2;
Дельтоид ABLO1 "состоит" из двух одинаковых прямоугольных треугольников O1AB и O1LB, его площадь S = AB*O1B = 9√2; а ПОЛУпериметр p = 3(1 + √2); 
r = S/p = 9√2/(3 + 3√2) = 3√2/(√2 + 1);  
что-то корни не особо сокращаются, между прочим.