Пусть в произвольном треугольнике стороны равны a, b, c, медиана к стороне c обозначена m. Угол С - это угол, противоположный стороне с.
Если продлить медиану за сторону с на свою длину, и конец соединить с концами стороны с, то треугольник "достроится" до параллелограмма, у которого стороны a и b, и диагонали c и 2m. Один из углов параллелограмма равен С, другой 180° - С;
Если применить теорему косинусов к треугольнику, то получится
с^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C);
Если применить теорему косинусов к треугольнику, образованному другой парой смежных сторон параллелограмма и второй диагональю (то есть удвоенной медианой), то
(2m)^2 = a^2 + b^2 + 2ab*cos(C);
Если эти два соотношения сложить, то получится
4*m^2 + c^2 = 2*a^2 + 2*b^2;
отсюда получается формула для длины медианы к стороне с
m = (1/2)*√(2*a^2 + 2*b^2 - c^2);
сама формула легко запоминается, но лучше понять, как она получается.