В треугольнике ABC проведены биссектриса AP и медиана BM пресекаются в точке K. Отношение...

Проведем из вершины $C$ , отрезок $CL$ и так что бы он проходил через точку    $K$ .
По теореме Чевы
$\frac{CM}{MA}*\frac{AL}{LB} * \frac{BP}{PC}=1\\$
так как $AP$ биссектриса , а по свойству
$\frac{AC}{AB}=\frac{PC}{BP}=\frac{5}{8}$ .
Так как $BM$ медиана , то $\frac{CM}{MA}=1$
$\frac{AL}{LB}=\frac{5}{8}$
По теореме Ван Обеля
$\frac{AK}{KP}=\frac{AM}{MC}+\frac{AL}{LB}\\ \frac{AK}{KP}=\frac{13}{8}\\$
Пусть угол $BAP=a$
$S_{BAP}=\frac{AB*AP*sina}{2}\\ S_{ABK}=\frac{AB*\frac{13}{21}AP*sina}{2}\\ S_{BKP}=S_{BAP}-S_{ABK} = \frac{\frac{8AB*AP*sina}{21}}{2}\\\\ \frac{S_{ABK}}{S_{BKP}}=\frac{13}{8}$

Ответ $\frac{13}{8}$