Первообразная и интегралПомогите пожалуйста с решением примера, как можно быстрее примеры...

0 голосов
32 просмотров

Первообразная и интеграл
Помогите пожалуйста с решением примера, как можно быстрее
примеры выделены римской цифрой 1


image

Математика (15 баллов) | 32 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

 первое: там 3 графика. они симметричны относительно оси Оy. Найдем пересечение этих графиков:
4-x^2 = 3x => x^2 +3x-4 = 0 => x = -4 & 1
Так как нас просят найти площадь сектора при x > 0 значит нам требуется только x = 1
Теперь возьмем интеграл.
\int\limits^1_0 {4-x^2} \, dx = 4x - x^3/3 | ^{1} _{0} = 3 - 0 = 3
\int\limits^1_0 {3x} \, dx = 3x^2/2 = 3/2 - 0 = 3/2

3 - 3/2 = 3/2 - площадь сектора, ограниченного графиками функций 4-x^2, 3x и осью Oy. Чтобы найти площадь всего сектора, надо полученную площадь удвоить.
получим S = 3


Во втором примере:
мы знаем что cosx = sinx при x = 1/\sqrt{2}
\int\limits^{\pi/4}_0 {cos(x)} \, dx = sin(x) = 1/\sqrt{2} - 0 =1/\sqrt{2}
\int\limits^{\pi/4}_0 {sin(x)} \, dx = -cos(x) = -1/\sqrt{2} - ( -1) = 1-1/\sqrt{2}

Вычетаяи первого интеграла второй, получим \sqrt{2} - 1
Но это опять же только левая половина сектора. Нам нужно доможить эту площадь на 2, чтобы получить всю площадь.
S = 2\sqrt{2}-2

(791 баллов)