Если провести медиану m к стороне c, а потом продлить её на свою длину и конец соединить с концами стороны c, то получится параллелограмм со сторонами a и b, и диагоналями с и 2*m.
Для исходного треугольника теорема косинусов
c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C);
Для треугольника со сторонами a, b, 2*m, на который делит построенный параллелограмм удвоенная медиана,
(2*m)^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(180° - C) = a^2 + b^2 + 2*a*b*cos(C);
если сложить эти равенства, получится известное соотношение для параллелограмма
(2*m)^2 + c^2 = 2*(a^2 + b^2); (сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов сторон)
отсюда легко найти медиану исходного треугольника
m^2 = (a^2 + b^2)/2 - c^2/4;
само собой, остальные медианы находятся просто заменой обозначений.