Пример 1.Решить уравнение (2x2 – 3x + 1)2 = 22x2 – 33x + 1.Решение.Перепишем уравнение в виде(2x2 – 3x + 1)2 = 11(2x2 – 3x) + 1. Сделаем замену. Пусть 2x2 – 3x = t, тогда уравнение примет вид:(t + 1)2 = 11t + 1.Теперь раскроем скобки и приведем подобные, получим:t2 + 2t + 1 = 11t + 1;t2 – 9t = 0.В получившемся неполном квадратном уравнении вынесем общий множитель за скобки, будем иметь:t(t – 9) = 0;t = 0 или t = 9.Теперь необходимо сделать обратную замену и решить каждое из полученных уравнений:2x2 – 3x = 0 или 2x2 – 3x = 9x(2x – 3) = 0 2x2 – 3x – 9 = 0 x = 0 или x = 3/2 x = 3 или x = -3/2Ответ: -1,5; 0; 1,5; 3.Пример 2.Решить уравнение (x2 – 6x)2 – 2(x – 3)2 = 81.Решение.Применим формулу квадрата разности (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. Запишем исходное уравнение в виде(x2 – 6x)2 – 2(x2 – 6x + 9) = 81. Теперь можно сделать замену.Пусть x2 – 6x = t, тогда уравнение будет иметь вид:t2 – 2(t + 9) = 81.Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:t2 – 2t – 18 – 81 = 0;t2 – 2t – 99 = 0.По теореме Виета корнями полученного уравнения будут числа -9 и 11.Сделаем обратную замену:x2 – 6x = -9 или x2 – 6x = 11x2 – 6x + 9 = 0 x2 – 6x – 11 = 0(x – 3)2 = 0 D = 80 x = 3 x1 = 3 + 2√5; x2 = 3 – 2√5.Ответ: 3 – 2√5; 3; 3 + 2√5.Пример 3.Решить уравнение (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 и найти произведение его корней.Решение.Найдем «выгодный» способ группировки множителей и раскроем пары скобок:((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;(x2 + 5x – x – 5)(x2 + 7x – 3x – 21) = 297;(x2 + 4x – 5)(x2 + 4x – 21) = 297.Cделаем замену x2 + 4x = t, тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:(t – 5)(t – 21) = 297.Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:t2 – 21t – 5t + 105 = 297;t2 – 26t – 192 = 0.По теореме Виета определяем, что корнями полученного уравнения будут числа -6 и 32.После обратной замены будем иметь:x2 + 4x = -6 или x2 + 4x = 32x2 + 4x + 6 = 0 x2 + 4x – 32 = 0D = 16 – 24 < 0 D = 16 + 128 > 0 Нет корней x1 = -8; x2 = 4Найдем произведение корней: -8 · 4 = -32.Ответ: -32.Пример 4.Найти сумму корней уравнения (x2 – 2x + 2)2 + 3x(x2 – 2x + 2) = 10x2.Решение.Пусть x2 – 2x + 2 = t, тогда уравнение примет вид:t2 + 3xt – 10x2 = 0.Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно t.D = (3x)2 – 4 · (-10x2) = 9x2 + 40x2 = 49x2; ≥≤t1 = (-3x – 7x) / 2 и t2 = (-3x + 7x) / 2;t1 = -5x и t2 = 2x.Так как t = x2 – 2x + 2, тоx2 – 2x + 2 = -5x или x2 – 2x + 2 = 2x. Решим каждое из полученных уравнений.x2 + 3x + 2 = 0 или x2 – 4x + 2 = 0.Оба уравнения имеют корни, т.к. D > 0.С помощью теоремы Виета можно сделать вывод, что сумма корней первого уравнения равна -3, а второго уравнения 4. Получаем, что сумма корней исходного уравнения равна -3 + 4 = 1Ответ: 1.