Точки M, N и P лежат на сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС, причем AM/AB= BN /BC= CP /CA = 1/ 3 . Прямые СМ, AN, BP, пересекаясь, ограничивают треугольник, площадь которого равна S. Найдите площадь треугольника ABC
Позже напишу решение , можно решить через Теореме Менелая
Перезагрузи страницу если не видно
решил на скорую руку , можете проверить решение
Я вот думаю как чисто через подобие решить :)
да да , я тоже хотел найти (я думаю вы найдете ) , но чисто стандартными способами получился такой ответ
если ответ неверный , то сообщите
в целом понятно как проведением паралельной прямой. Можно из 2 пар подобных треугольников выразить каждое отношение. Но как то влом сейчас это все расписывать
сейчас разобрался но теперь уже не интересно и писать и проверять не хочется
модет позже
Положим что треугольник площадь котрого равна
По теореме Менелая , получим соотношения
Допустим угол между сторонами меньшего треугольника равны
То есть площадь треугольника
Проведем HS || AB. Обозначим SH=m SP=c треугольники AMC и SHC подобны как и треугольники ABP и SHP. Дальше просто поиграем с отношениями: x/m=3z/(z+c) 3x/m=2z/c поделим одно на второе: 3=2/c * (z+c)/3=2(z+c)/3c 9c=2z+2c 2z=7c c=2z/7 MC/HC=3z/(z+c)=3z/(z+2z/7)=3/(9/7))=7/3 Ну еще для достижения успеха нужно найти отношения: BH/Hf и MH/Hg. В целом это та же игра отношений. Хотя иногда эта игра бывает такой сложной,что средний ум бы с ней не справился, что делает сам процесс игры с отношениями весьма увлекательным занятием :) Пусть Bp=j Bp/Hp=2z/c=2z/(2z/7)=7 Hp=j/7. В силу симметрии задачи(на каждой стороне те же отношения ) Bp/Bf=7/3 Bf=3j/7 Откуда: fH=j-j/7-3j/7=3j/7 HB=j-j/7=6j/7 BH/fH=6/7*7/3=2 :) Осталось еще 1 отношение MH/Hg но в целом из симметрии выходит что по тем же принципам: MC=k Mg=k/7 Hg=3k/7 :) MH/Hg=4/7 *7/3=4/3 Ну вот и вся задача осталось поиграть с площадями. :) SBMH=4/3*2*S=8/3 S SBMC=8/3*7/4S=14S/3 SABC=14S/3*3/2=7S Сошлось :) Я саму игру площадей не расписывал если нужно напишу. .
Вот такие вот упражнения с площадями поиграть очень полезно для мозга :)
а что такое средний ум ?
Для обычного человека возможно вызовет затруднения. Вот так чисто логически поиграть
Но хорошее увлекательное упражнение
Но ваше решение оптимальней тут не поспоришь
ясно