При каких значениях a уравнение 2x^2 + (a^3 - 2)x + a^2 - 1 = 0 имеет корни...

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Думаю, здесь не идет речь о РАВНЫХ корнях, но противоположных по знаку. Просто два корня, имеющие разные знаки. Тогда решение я вижу таким:
Пусть x1 и x2 - корни уравнения, разные по знаку (один положительный, другой отрицательный).
По теореме Виета:
$\left \{ {{x_{1}*x_{2}=\frac{a^{2}-1}{2}} \atop {x_{1}+x_{2}=-\frac{a^{3}-2}{2}}} \right.$
Если оба корня разные по знаку, значит произведение будет отрицательным:
$\frac{a^{2}-1}{2}<0$
$a^{2}-1<0$
$-1<a<1$

Теперь подумаем, какой по знаку может быть сумма, рассмотрим два варианта:
1) |x_{2}|, x_{1}<0" alt="|x_{1}|>|x_{2}|, x_{1}<0" align="absmiddle" class="latex-formula"> - значит сумма будет отрицательной
|x_{2}|, x_{1}<0} \atop {- \frac{a^{3}-2}{2}<0}} \right." alt=" \left \{ {{|x_{1}|>|x_{2}|, x_{1}<0} \atop {- \frac{a^{3}-2}{2}<0}} \right." align="absmiddle" class="latex-formula">
|x_{2}|, x_{1}<0} \atop {a^{3}-2>0}} \right." alt=" \left \{ {{|x_{1}|>|x_{2}|, x_{1}<0} \atop {a^{3}-2>0}} \right." align="absmiddle" class="latex-formula">
|x_{2}|, x_{1}<0} \atop {a> \sqrt[3]{2}}} \right." alt=" \left \{ {{|x_{1}|>|x_{2}|, x_{1}<0} \atop {a> \sqrt[3]{2}}} \right." align="absmiddle" class="latex-formula">
Если наложить это условие на найденное из произведения ( $-1<a<1$ ), то общих решений не будет. Значит, этот вариант корней не подходит под условие задачи. Перейдем ко второму варианту.
2) $|x_{1}|<|x_{2}|, x_{1}<0$ - значит сумма будет положительной
0}} \right." alt="\left \{ {{|x_{1}|<|x_{2}|, x_{1}<0} \atop {- \frac{a^{3}-2}{2}>0}} \right." align="absmiddle" class="latex-formula">
$\left \{ {{|x_{1}|<|x_{2}|, x_{1}<0} \atop {a^{3}-2<0}} \right.$
$\left \{ {{|x_{1}|<|x_{2}|, x_{1}<0} \atop {a< \sqrt[3]{2}}} \right.$
Наложив на $-1<a<1$ , получим решение: $-1<a<1$

Ответ: a∈(-1;1)

kalbim_zn (63.2k баллов) 20 Март, 18