Разность длин описанной и вписанной окружностей правильного треугольника равна 2√3π....

Из формул
$R = \frac{a\cdot b\cdot c}{4S} , \\ r= \frac{S}{p}$
и зная, что в равностороннем треугольнике a=b=c
S= a²·sin 60°/2
можно получить формулы, выражающие R и r через сторону равностороннего треугольника а:
$R= \frac{a \sqrt{3} }{3}, \\ r= \frac{a \sqrt{3} }{6}$
Так как
$R - r=2 \sqrt{3} \pi , \\ \frac{a \sqrt{3} }{3} - \frac{a \sqrt{3} }{6} =2 \sqrt{3} \pi , \\ a=6 \pi$
$S= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}= \frac{36 \pi ^{2} \sqrt{3} }{4}$