Решение: Центр О описанной окружности лежит на медиане, проведенной к основанию треугольника.
Медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника является его биссектрисой и высотой (свойство равнобедренного треугольника) .
Cредняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
Поэтому AC=2*MN=2*корень (15).
Пусть ВК – медиана, проведенная к основанию АС, тогда
АК=СК=1\2*АС=
1\2* 2*корень (15)=корень(15).
1 случай) Если центр О описанной окружности лежит внутри треугольника АВС, тогда:
По теореме Пифагора OK^2=OA^2-АK^2
OK^2=8^2-(корень(15))^2=49
ОК=7
ВК=ОВ+ОК=8+7=15.
По теореме Фалеса так как MN||AC, АК=СК, то МL=NL, где L– точка пересечения медианы ВК и средней линии MN.
ML=NL=1\2*MN=1\2*корень (15).
По теореме Фалеса так как MN||AC, АМ=СМ, CN=BN, значит BL=KL
BL=KL=1\2*BK=1\2*15=7.5
LO=OB-BL
LO=8-7.5=0.5
MN||AC, ВК перпендикулярна к АС, значит ВК перпендикулярна к MN, значит треугольник LMO прямоугольный с прямым углом MLO.
По теореме Пифагора:
OM^2=LO^2+ML^2
OM^2=0.5^2+(1\2*корень (15))^2=4
OM=2
2 случай) Если центр О описанной окружности лежит вне треугольника АВС, тогда:
По теореме Пифагора OK^2=OA^2-АK^2
OK^2=8^2-(корень(15))^2=49
ОК=7
ВК=ОВ-ОК=8-7=1.
По теореме Фалеса так как MN||AC, АК=СК, то МL=NL, где L– точка пересечения медианы ВК и средней линии MN.
ML=NL=1\2*MN=1\2*корень (15).
По теореме Фалеса так как MN||AC, АМ=СМ, CN=BN, значит BL=KL
BL=KL=1\2*BK=1\2*1=0.5
LO=OB-BL
LO=8-0.5=7.5
MN||AC, ВК перпендикулярна к АС, значит ВК перпендикулярна к MN, значит треугольник LMO прямоугольный с прямым углом MLO.
По теореме Пифагора:
OM^2=LO^2+ML^2
OM^2=7.5^2+(1\2*корень (15))^2=60
OM=корень(60)=2*корень(15)
з.і. вроде так*