4sin²x+8 cos x+1=0.Решить уравнение и написать в ответе наибольший отрицательный корень

Дополнительное: sin²x= 1-cos²x

4sin²x+8cosx+1=0
4(1-cos²x)+8cosx + 1 = 0

4-4cos²x+8cosx+1=0

-4cos²x+8cosx+5=0 |*(-1)

4cos²x-8cosx-5=0

Пусть cos x = t ( |t| ≤1 ), тогда имеем

$4t^2-8t-5=0 \\ a=4;b=-8;c=-5 \\ D=b^2-4ac=(-8)^2-4*4*(-5)=64+80=144 \\ \sqrt{D}=12 \\ t_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{8+12}{8} =2.5 \\ t_2=\frac{-b- \sqrt{D} }{2a} =\frac{8-12}{8} =- \frac{4}{8}=- \frac{1}{2}$

t₁=2.5 - не удовлетворяет условию при |t| ≤ 1

Обратная замена

cosx = -1/2
$x= \frac{+}{-} arccos( -\frac{1}{2} )+2 \pi n \\ x= \frac{+}{-} \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n$

Ответ: $- \frac{2 \pi }{3}$