Пусть x0- наименьший положительный корень уравнения cos^2x- 5sin xcos x+ 2=0 Найдите tgx...

$cos^2x-5sinx*cosx+2=0 \\ cos^2x-5sin*cosx+2(sin^2x+cos^2x)=0 \\ cos^2x-5sinx*cosx+2sinx^2x+2cos^2x=0 \\ sin^2x-5sinx*cosx+3cos^2x=0$

Разделим на cos²x

$sin^2x-5sinx*cosx+3cos^2x =0 |:cos^2x \\ \frac{sin^2x}{cos^2x} -5 \frac{sin*cosx}{cos^2x} +3 \frac{cos^2x}{cos^2x} =0$

Сокращаем

$\frac{sin^2x}{cos^2x} -5 \frac{sinx}{cosx} +3=0$

Как видно sin/cosx = tgx

$tg^2x-5tgx+3=0$

Пусть tg x = t ( t ∈ R ), тогда имеем:

$t^2-5t+3=0 \\ a=1;b=-5;c=-3 \\ D=b^2-4ac=(-5)^2-4*1*3=25-12=13 \\ \sqrt{D} =13 \\ t_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{5+ \sqrt{13} }{2} ; \\ t_2= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{5- \sqrt{13} }{2}$

Обратная замена

$tg x = \frac{5+\sqrt{13} }{2} \\ x_1=arctg(\frac{5+ \sqrt{13} }{2})+ \pi n \\ tgx=\frac{5- \sqrt{13} }{2} \\ x_2=arctg(\frac{5- \sqrt{13} }{2})+ \pi n$

Ответ: наименьший положительный корень $arctg(\frac{5- \sqrt{13} }{2})+ \pi n$