Монеты равного диаметра расположены по всему очень большому столу(бесконечная плотность)...

Question

Монеты равного диаметра расположены по всему очень большому столу(бесконечная плотность) так,что каждая монета касается шести других монет и прямые линии,создающие центры соприкасающихся монет,разбиваюс плоскость на равносторонние треугольники.вычислите процент плоскости,покрытый монетами(кругами)

Answer 1

Данная укладка кругов является плотнейшей из возможных (без учета перекрытия кругами друг друга).

Для подсчета площади достаточно заметить, что при такой упаковки центры трех любых взаимосоприкасающихся кругов образуют равносторонние треугольники, площади которых покрыты в равной степени.

Пусть х - радиус монеты

Тогда сторона треугольника будет равна 2х (как сумма двух радиусов).

Площадь этого треугольника будет равна 

И эта площадь покрыта тремя секторами, где r=x; α=π/3. Площадь, покрываемая этими тремя секторами равна:

        Sпокр= 3·(1/2 · r²· α)=3/2 * π/3* x²= x² * π/2

Соотношение общей площади треугольника к покрытой его части:

      S(покр) / S(общ) = (x² * π/2) / (√3)x²) = π/(2 (√3)) = π· √3/6

Процент плоскости, покрытый монетами, составит 

 

  π· √3/6 ·100% ~ 90,64% площади.