В треугольнике ABC проведена биссектриса BM.Точка K - точка касания вписанной окружности...

Question

В треугольнике ABC проведена биссектриса BM.Точка K - точка касания вписанной окружности со стороной BC. KM параллельна AB. Найти сторону AB, если BC = 12, AC = 17

Answer 1

Тут вся соль в том, что
AB/BC =(свойство биссектрисы) = AM/MC = (из за MK II AB) = BK/KC;
Пусть точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки x y z, так, что
x + y = AB; (надо найти)
x + z = AC = 17;
y + z = BC = 12; 
Из первой цепочки равенств следует, что
(x + y)/(y + z) = y/z; или xz = y^2; если подставить  x = 17 - z; y = 12 - z; получится квадратное уравнение (12 - z)^2 = (17 - z)z; или
2z^2 - 41z + 144 = 0; откуда z1 = 16; z2 = 9/2;
Ясно, что z < 12; поэтому остается корень z = 9/2; 
x + y + 2z = 17 + 12 = 29; откуда x + y = 20;
AB =20;

Comments

спасибо большое. только вот все равно не понимаю почему AM/MC = BK/KC. можно немного подробнее?

---

ну например из подобия треугольников ABC и MKC. Вообще-то есть теорема Фалеса. Если есть две разные прямые и несколько параллельных секущих, то они делят прямые на пропорциональные отрезки.

---

точно! теорема Фалеса. Спасибо огромное. теперь наверняка разобрался))

---

Мне понравилось, что тут треугольник общего вида. Другие отрезки y = 15/2; z = 25/2; из формулы Герона площадь равна S = √(x +y + z)*x*y*z = √(49/2)*(9/2)*(15/2)*(25/2) = 105√15/4 =101,665812837945 (приближенно). Это всего на 5% примерно отличается от площадь "египетского" треугольника 12,16,20. Кстати, а почему это я так формулу Герона записал? :)