Сумма коэффициентов произвольного многочлена c целыми коэффициентами равна заданному...

Question

Сумма коэффициентов произвольного многочлена c целыми коэффициентами равна заданному простому числу p.
Известно что многочлен имеет более 1 натурального корня. Найдите натуральные корни многочлена.

Comments

Это одна из моих интереснейшиx задумок :)

---

Только прошу вас без обмана. Решайте не забипайте баллы даром!!! Ну только если они вам уж очень нужны.

---

1-p - корень многочлена

---

ну вот я как-то... эти целые коэффициенты могут быть отрицательными? просто если они натуральные - все вообще как то тривиально.

---

Не стройте себе иллюзий о трудности этого задания. Для его решения не нужно не каких знаний за рамками школьной программы!!! Тут нужно только догадаться :)

---

Ну я так понял ,новое задание действительно для вас трудное. Что не ужели не найдется не кого кто решит? Баллов то много !!!

---

Задание действительно сложное. Поэтому много баллов. Кому интересно могу выложить решение в ЛС

---

И помните все гениальное просто!!!

---

Мне не жалко конечно,но вы занимаете место для других решающих. Поэтому буду вынужден отметить нарушение.

Answer 1

Многочлен имеет вид (х-х1)(х-х2)...(х-хn)(x^2k+f)=0
тогда (1-х1)(1-х2)...(1-хn)(1+f)=p - простому числу
это возможно если
(1-хi)=1- (a корней);
(1-хj)=-1-(b корней);
(1-хn)=p*(-1)^b - единственный корень
(1+f)=1;f=0;x=0
среди корней могут быть целые числа 0;2;1-p или 1+p
так как корень не единственный и корни натуральные (положительные), то остается 2-нечетное число корней и 1+p - один корень

Comments

(х-2)(х-(1+p))=x^2-(p+3)x + 2(p+1);ну вы слегка неудачно раскрыли, впрочем, сумма коэффициентов все равно p,

---

согласен, оЧеПятка

---

Молодец!!! Только в целом хватит сделать замену x=u+1 то понятно что свободный член уравнения равен числу p. То есть u=1 u=p если они натуральнрые x=2 x=p+1

---

(k - 1)(n - 1) = p
если к=2 то (n - 1) = p
значит n=1+p

---

тогда второй из корней 1+p

---

именно так

---

ну давайте с квадратными повозимся :) пусть (x - k)(x - n) - многочлен, k n - натуральные. То есть x^2 - (k + n)x + kn; сумма коэффициентов kn - (k + n) + 1; пусть это = p; kn - k - n + 1 = p; (k - 1)(n - 1) = p; так как p - простое, либо k = 2, либо n = 2;

---

(х-2)(х-(1+p))=x^2+2*(1+p)+(-1-p-2)*х=0

---

не там множитель х )

---

Но согласитесь красиво