1) х + 2y = 7 | * - y
2y² + xy = 14
-хy - 2y² = -7y
2y² + xy = 14
- 2y² - хy = -7y
2y² + xy = 14 Складываем почленнно.
______________________
0 = -7y + 14
7y = 14
y = 2 Подставим y в первое уравнение:
х + 2y = 7
х + 2*2 = 7
х + 4 = 7
х = 3
Ответ: ( 3 ; 2 ).
2) (х - 1)(y + 3) = 5
3x - y = 4 => y = 3x - 4
(подставим это значение Y в первое уравнение)
(х - 1)(3x - 4 + 3) = 5
(х - 1)(3x - 1) = 5
3x² - x - 3x + 1 - 5 = 0
3x² - 4x - 4 = 0
D = 16 - 4*3*(-4) = 16 + 48 = 64
√D = 8
x1 = (4 + 8) / 6 = 12/ 6 = 2 => y1 = 3x1 - 4 = 3*2 - 4 = 2
x2 = (4 - 8) / 6 = -4 / 6 = -2/3 => y2 = 3x2 - 4 = 3*( -2/3) - 4 = -6
Ответ: (2 ; 2), (-2/3 ; -6).
3) 1/y - 1/x = 4/5 ОДЗ: х≠0, y≠0, y≠ -4
x - y = 4 => x = y+4
1/y - 1/y+4 = 4/5
y+4 - y = 4
y( y+4) 5
4 = 4
y( y+4) 5 (пропорция)
4 y( y+4) = 20
4y² + 16y - 20 =0 | : 4
y² + 4y - 5 =0
По теореме Виета: y1 + y2 = -4, y1y2 = -5 ⇒
y1 = 1 ⇒ x1=y1+4 = 1+4 = 5
y2= -5 ⇒ x2=y2+4 = -5+4 = -1
Ответ: (5 ; 1), ( -1 ; -5).
4) x² + y² = 13
xy = -6 | * 2
x² + y² = 13
2xy = -12 | * 2 сложим почленно
x² +2xy + y² = 1 (слева видим формулу квадрат суммы)
(x + y)² = 1
x + y = 1 или x + y = - 1
x = 1 - y x = -1 -y
x = -(1 +y)
(1 - y )y = -6 или -(1 +y)y = -6
y - y² + 6 = 0 (1 +y)y = 6
y² - y - 6 = 0 y² + y - 6 = 0
y1+y2 = 1 y1+y2 = - 1
y1y2 = - 6 y1y2 = - 6
y1 = 3 ⇒ x1= 1 - y1 = 1 - 3 = -2 y1 = -3 ⇒ x1= -(1 +y1) = -(1 -3) = 2
y2 = -2 ⇒ x2 = 1 - y2 = 1 + 2 = 3 y2 = 2 ⇒ x2= -(1 +y2) =-(1 +2) = -3
Ответ: (-2 ; 3), (3; -2), (2 ; -3), (-3 ;2).
5) х + y = 4 ⇒ х = 4 - y
x² +2xy + 2y² = 17
(4 - y)² +2y(4 - y) + 2y² = 17
16 - 8y + y² +8y- 2y² + 2y² = 17
y² + 16 = 17
y² = 1
y = 1 или y = -1
х = 4 - y = 4 -1 =3 х = 4 - y = 4 - (-1) = 5
Ответ: (3 ; 1). ( 5 ; -1) .