Точка K лежит на стороне AB треугольника ABC, точка D - на стороне AC, прямые BD и CK пересекаются в точке O. Площади треугольников OKB, OBC, OCD соответственно равны 10, 45, 54. Найти площадь треугольника ABC.
В решении используется свойство треугольников, имеющих общую высоту: площади треугольников, имеющих общую высоту относятся как основания, к которым проведена эта высота. Сами общие высоты на рисунках не проведены. ΔВОК и ΔВОС имеют общую высоту (из вершины В): Sbok : Sboc = OK : OC = 10 : 45 = 2 : 9 ΔСОВ и ΔCOD имеют общую высоту (из вершины С): Scob : Scod = BO : OD = 45 : 54 = 5 : 6 Проведем ВЕ║АС до пересечения с прямой СК. . ΔЕВО подобен ΔСВО по двум углам: ЕО : ОС = ВО : OD EO = (OC · BO) / OD EO = (5x · 9y) / (6x ) = 45y / 6 = 15y /2 EK = EO - KO = 15y / 2 - 2y = 11y / 2 ΔEBK подобен ΔСАК по двум углам: ВК : КА = ЕК : КС = (11y/2) : (11y) = 1 : 2 ΔCBK и ΔСАК имеют общую высоту (из вершины С): Scbk : Scak = BK : KA = 1 : 2 Scak = 2 · Scbk = 2 · 55 = 110 Sabc = Scbk + Scak = 55 + 110 = 165