Log2(4^x+4)=log2^x+log2(2^(x+1)-3)

$\log_2(4^x+4)=\log_22^x+\log_2(2^{x+1} - 3 )$
Отметим ОДЗ:

0} \atop {4^x+4>0}} \right. " alt=" \left \{ {{2^{x+1}-3>0} \atop {4^x+4>0}} \right. " align="absmiddle" class="latex-formula">

0" alt="4^x+4>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
Левая часть выражения принимает только положительные значения

3 \\ x+1>\log_23 \\ x>\log_21.5" alt="2^{x+1}>3 \\ x+1>\log_23 \\ x>\log_21.5" align="absmiddle" class="latex-formula">
Воспользуемся свойством логарифма
$\log_2(4^x+4)=\log_2(2^x(2^{x+1}-3)) \\ 4^x+4=2^x(2^{x+1}-3)$
Пусть

0)" alt="2^x=a(a>0)" align="absmiddle" class="latex-formula">, тогда имеем
$a^2+4=a(2a-3) \\ a^2+4=2a^2-3a \\ a^2-3a-4=0$
По т. Виета: $\left \{ {{a_1+a_2=3} \atop {a_1\cdot a_2=-4}} \right. \to \left \{ {{a_1=-1} \atop {a_2=4}} \right.$
a=-2 - не удовлетворяет условию при a>0
Возвращаемся к замене
$2^x=4 \\ 2^x=2^2 \\ x=2$

Ответ: 2.