Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB ** отрезки AM=10 и MB=18. Касательная к...

Question

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=10 и MB=18. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

---

Answer 1

  Данный к заданию рисунок не совсем подходит по размерам условию задачи. АС должно быть меньше ВС и поэтому В не может быть между А и D.
Сделаем другой рисунок ( см. приложение). 
Рассмотрим треугольник АСD.  По свойству углов при окружности
угол, образованный касательной к окружности и секущей, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами.
⇒∠DСА равен половине градусной меры дуги АС, заключенной между его сторонами СD и СА
Но вписанный угол СВА опирается на дугу АС и по свойству вписанного угла также равен половине её градусной меры. 
⇒ ∠ СВА=∠ АСD
В треугольниках СDВ и СDА угол СDВ общий.
Треугольники, в которых равны два угла, подобны. 
△ ВСD~△САD
Из их подобия
СD/ВD=АС/ВС 
 Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.
 ⇒ в треугольнике АВС по свойству биссектрисы СМ
АС/ВС=АМ/ВМ=10/18
⇒ СD/ВD=10/18
Вернёмся к подобным треугольникам, в которых, как мы выяснили, отношение соответственных сторон СD/ВD равно 10/18 и потому остальные соответственные стороны относятся так же:
АD:СD=10:18
Из этой пропорции
18 АD=10 СD
АD=10 СD/18
ВD=АМ+ВМ+АD
ВD=28+АD
Подставим найденное выше значение АD 
ВD=28+(10 СD/18)
 приведём правую часть уравнения к общему знаменателю:
ВD=(504+10 СD)/18
Заменим ВD в отношении СD/ВD=10/18 на найденное выражение
18 СD:(504+10 СD)=10/18
324 СD=5040+100 СD
224 СD=5040
СD=22,5

---