Задано функцию нескольких переменных Найти: 1) 2) градиент функции z в точке 3)...

0 голосов
32 просмотров

Задано функцию нескольких переменных z=ln(x^2y)+y^3

Найти:

1) \frac{d^2z}{dx^2} , \frac{d^2z}{dxdy} , \frac{d^2z}{dy^2}

2) градиент функции z в точке M_0(3;5)

3) производную в точке M_0(3;5) по направлению вектора l(3;4)

Только пожалуйста очень подробно


Алгебра (16.1k баллов) | 32 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

z=ln(x^2y)+y^3; z \limits'_x =\frac {dz}{dx}=\frac{1}{x^2y} *2xy+0=\frac{2xy}{x^2y}=\frac{2}{x}; \\

z \limits'_y =\frac {dz}{dy}=\frac{1}{x^2y} *x^2+3y^2=\frac{x^2}{x^2y}+3y^2=\frac{1}{y}+3y^2; \\

z \limits''_x^2 =\frac {d^2z}{d x^2}=(\frac{2}{x})'_x=-\frac{2}{x^2}; \\ z \limits''_y^2 =\frac {d^2y}{d y^2}=((\frac{1}{y})+3y^2)'_y=-\frac{1}{y^2}+6y; \\ z \limits''_(xy) =\frac {d^2y}{d x dy}=((\frac{1}{y})+3y^2)'_x=0; \\

(здесь вообще важно помнить о теореме Шварца)

 

 grad z=(\frac{dz}{dx};\frac {dz}{dy});

grad z=(\frac{2}{x};\frac{1}{y}+3y^2); \\ grad z(M)=(\frac{2}{3}; \frac{1}{5}+3*5^2)=(\frac{2}{3}; 75.2)

 

\frac{dz}{dl}=z'_x cos\alpha+ z'_y cos\beta

|l|=\sqrt{3^2+4^2}=5;\\ cos \alpha=\frac{3}{5}=0.6;\\ cos \beta=\frac{4}{5}=0.8;\\ \frac {dz}{dl}=\frac{2}{3}*0.6+75.2*0.8=60.56

(408k баллов)