В правильном треугольнике abc точка o центр om перпендикуляр к плоскости abc найдите...

Так как точка О центр ΔАВС, ОН - радиус вписанной окружности.
$r= \frac{S}{p} = \frac{ \frac{1}{2}*AB*AC*sinBAC }{ \frac{1}{2}*(AB+BC+AC) }= \frac{ AB^2*sin60^o }{3*AB }=\frac{AB* \frac{ \sqrt{3}}{2} }{3}=\\= \frac{ \sqrt{3} }{6}*AB= \frac{ \sqrt{3} }{6}*10=\frac{5\sqrt{3} }{3}$ .
По теореме о трёх перпендикулярах МН⊥АС (МН - наклонная, ОН - проекция) ⇒ МН - искомое расстояние. Из ΔМОН, по теореме Пифагора
$MH= \sqrt{MO^2+OH^2}= \sqrt{5^2+(\frac{5 \sqrt{3} }{3})^2}= \sqrt{25+\frac{25 }{3}}=\\=5 \sqrt{ \frac{4}{3} }= \frac{10}{ \sqrt{3} } =\frac{10 \sqrt{3} }{3}.$ .
Ответ: $\frac{10 \sqrt{3} }{3}$ см