Решить систему в рациональных числах. x^4+y^4+z^4+m^4=4*x*y*z*m+2z-1...

0 голосов
40 просмотров

Решить систему в рациональных числах.
x^4+y^4+z^4+m^4=4*x*y*z*m+2z-1
cos(x^5+y^5-z^5-m^5)=2z+sin^2(x+y+z-3*m)


Алгебра (11.7k баллов) | 40 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Довольно все искусственно выглядит , попробуем так 
x^4+y^4+z^4+m^4=4xyzm+2z-1\\
cos(x^5+y^5-z^5-m^5)=2z+sin^2(x+y+z-3m)\\\\ 
 

 
заметим неравенство           
\frac{x^4+y^4+z^4+m^4}{4} \geq \sqrt[4]{x^4m^4y^4z^4 } = xyzm 
то есть x^4+y^4+z^4+m^4 \geq 4yzm 
последнее выполняется когда x=y=z=m        
предположим что числа все разные , для  не потери общности 
imagey > z>m" alt="x >y > z>m" align="absmiddle" class="latex-formula">
пусть x^5+y^5-z^5-m^5=a\\
x+y+z-3m=b\\
 z=\frac{cosa-sin^2b}{2} 
отсюда следует что, после анализа  на экстремум получим f_{min} = -1 f_{max}=\frac{1}{2}
-1 \leq z \leq \frac{1}{2} \\
 
но с учетом первого равенство , получим что нет таких чисел что выполнялось бы равенство , значит x=y=z=m\\
 4x^4=4x^4+2x-1\\
x=\frac{1}{2}
x=m=z=y=\frac{1}{2}
    
    
 
  

(224k баллов)
0

Зачем вам экстремум ? если взять что: x^4+y^4+z^4+m^4>=4*x*y*z*m то 2z-1>=0 z>=1/2 далее из второго уравнения из области определения очевидно что z=1/2. ТО раз там выполнялось равнство. То они уже равны: x=y=z=m=1/2

0

согласен , да я что то не заметил

0

Если вы не заметили ,задание всего за 20 баллов. То есть для уровня ниже вашего.

0

Интересно, а что за уровень ?

0

Не понял вас?

0

Ну в смысле для вас это простая задача.

0

ясно