Доказать теорему Вписанного угла! Теорема : Вписанный угол измеряется половиной дуги **...

0 голосов
53 просмотров

Доказать теорему Вписанного угла!
Теорема :
Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается


Геометрия (41 баллов) | 53 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Уже был ответ
93855501 хорошист ответила 04.05.2013Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.Это надо понимать так: вписанный угол содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержится в половине дуги, на которую он опирается.При доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая.Первый случай. Центр круга лежит на стороне вписанного угла (черт. 331).Пусть АВС — вписанный угол и центр круга О лежит на стороне ВС. Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги АС.Соединим точку А с центром круга. Получим равнобедренный /\ AОВ, в котором 
АО = ОВ, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, А = В. АОС является внешним по отношению к треугольнику АОВ, поэтому АОС = А + В (§ 39, п. 2), а так как углы А и В  равны, то В составляет 1/2  АОС.
Но АОС измеряется дугой АС, следовательно, В измеряется половиной дуги АС.Например, если АС содержит 60° 18', то В содержит 30°9'.Второй случай. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла (черт. 332).Пусть АВD — вписанный угол. Центр круга О лежит между его сторонами. Требуется доказать, что АВD измеряется половиной дуги АD.Для доказательства проведём диаметр ВС. Угол АВD разбился на два угла: 1 и 2.1 измеряется половиной дуги АС, а 2 измеряется половиной дуги СD, следовательно, весь АВD измеряется   1/2 АС + 1/2СD, т. е. половиной дуги АD. 
Например, если  АD содержит 124°, то В содержит 62°.
Третий случай. Центр круга лежит вне вписанного угла (черт. 333).Пусть МАD — вписанный угол. Центр круга О находится вне угла. Требуется доказать, что МАD измеряется половиной дуги МD.Для доказательства проведём диаметр АВ.  МАD = МАВ— DАВ. Но МАВ измеряется  1/2  МВ, а DАВ измеряется   1/2 DВ. Следовательно,  МАD измеряется
1/2 (МВ —  DВ),  т. е. 1/2 МD. 
Например, если МD содержит 48° 38'16", то МАD содержит 24° 19' 8".
Следствия. 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги (черт. 334, а).

(228 баллов)