1.
а) 2sin²x=1-cosx
2(1-cos²x)=1-cosx
2-2cos²x=1-cosx
-2cos²x+cosx+1=0
2cos²x-cosx-1=0
Пусть cosx=y
2y²-y-1=0
D=1-4*2*(-1)=9
y₁=1-3=-1
4 2
y₂=4 =1
4
cosx=-1
2
x=+ arccos(-¹/₂)+2πn
arccos(-¹/₂)=π-arccos¹/₂=π-π =2π
3 3
x=+ 2π + 2πn
3
cosx=1
x=2πn
Ответ: х₁=+ 2π +2πn
3
x₂=2πn
б) 5sin²x-5sinxcosx+2 cos²x=1
Представим 1=sin²x+cos²x и поделим все на cos²x:
5sin²x - 5sinxcosx + 2cos²x=sin²x + cos²x
cos²x cosx cosx cos²x cos²x cos²x
5tg²x-5tgx+2=tg²x+1
5tg²x-tg²x-5tgx+2-1=0
4tg²x-5tgx+1=0
Пусть tgx=y
4y²-5y+1=0
D=25-4*4=9
y₁=5-3= 1
8 4
y₂=5+3=1
8
tgx=1
4
x=arctg¹/₄+πn
tgx=1
x=arctg1+πn
x=π + πn
4
Ответ: х₁=arctg ¹/₄ +πn
x₂=π +πn
4
в) cosx+sinx-cos3x=0
cosx-cos3x+sinx=0
-2sin x+3x sin x-3x + sinx=0
2 2
-2sin2x sin(-x) + sinx=0
2sin2x sinx+sinx=0
sinx(2sin2x+1)=0
sinx=0 2sin2x+1=0
x=πn 2sin2x=-1
sin2x=-¹/₂
2x=(-1)^n * arcsin(-¹/₂) +πn
2x=(-1)^(n+1)*arcsin¹/₂ +πn
2x=(-1)^(n+1)*π + πn
6
x=(-1)^(n+1) *π + πn
12 2
Ответ: х₁=πn
x₂=(-1)^(n+1) * π + πn
12 2
г) cosx+√3 sinx=0
Делим на cosx:
cosx + √3 sinx=0
cosx cosx
1+√3 tgx=0
√3 tgx=-1
tgx=-1
√3
tgx=-√3
3
x=arctg(-√3)+πn
3
x=-arctg √3 +πn
3
x=-π + πn
6
Ответ: х= -π +πn
6
д) cosx+sinx=√2
Делим на cosx:
cosx + sinx = √2
cosx cosx cosx
1+tgx = √2
cosx
Применяем формулу:
1+tg²x= 1
cos²x
1 =√(1+tg²x)
cosx
Получаем:
1+tgx=√2 *√(1+tg²x)
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(1+tgx)²=(√2)² * (√(1+tg²x))²
1+2tgx+tg²x=2(1+tg²x)
1+2tgx+tg²x=2+2tg²x
tg²x-2tg²x+2tgx+1-2=0
-tg²x+2tgx-1=0
tg²x-2tgx+1=0
(tgx-1)²=0
tgx-1=0
tgx=1
x= arctg 1 +πn
x=π + πn
4
Ответ: х=π +πn
4