50 БАЛЛОВ решить sinx-sin5x=0

Воспользуемся формулой
$\sin\alpha-\sin\beta=2\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

Получим

$\sin x-\sin 5x=2\sin\frac{x-5x}{2}\cos\frac{x+5x}{2}=$

$=2\sin\frac{(-4x)}{2}\cos\frac{6x}{2}=2\sin(-2x)\cos 3x=-2\sin 2x\cos 3x$

$-2\sin 2x\cos 3x=0$

Сокращаем обе части на -2

$\sin 2x\cos 3x=0$

Получаем два уравнения

1) $\sin 2x=0$ 2) $\cos 3x=0$

$2x=\pi n,\quad n\in Z$ $3x=\frac{\pi}{2}+\pi m, \quad m\in Z$

$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in Z$ $x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi m}{3}, \quad m\in Z$

Ответ: две серии решений

$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in Z$

$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi m}{3}, \quad m\in Z$