1/m+1/n=2/p
Преобразуем:
(m+n)/mn=2/p
p(m+n)=2mn
2mn-pm-pn=0
4mn-2pm-2pn=0
4mn-2pm-2pn+p^2=p^2
2m*(2n-p) -p*(2n-p)=p^2
(2m-p)*(2n-p)=p^2
Поскольку p -простое,то p^2 имеет делители +-1;+-p;+-p^2
При этом числа (2m-p) и (2n-p) являются его делителями. То возможно лишь 2 варианта:(Без учета симметричной перестановки)
1) 2m-p=+-p
2n-p=+-p ,но тогда m=n ,что не удовлетворяет условию.
2) 2m-p=+-1
2n-p=+-p^2
m=(p+-1)/2
n=(+-p^2+p)/2
Поскольку n-натуральное ,то +-p^2+p>0 ,что возможно ,только если взять знак +.
Таким образом : m=(p+1)/2 (верно поскольку p+1 всегда четное число) n=p*(p+1)/2 (верно аналогично m).Это решение будет единственно для любого простого числа p ,что мы только что и выяснили.
Можно сделать проверку ,подставив в исходное уравнение и убедится что пара подходит.