1) Длина диагонали грани АВВ₁А₁ равна √(10²+9²) = √181 = 13.45362.
Сторону АС находим через диагональ грани АСС₁А₁ и высоту призмы: АС = √(15²-9²) = √(225-81) = √144 = 12.
Высота основания равна h = √(10²-(12/2)²) = √(100-36) = √64 = 8.
Площадь основания S = (1/2)h*AC = (1/2)*8*12 = 48 кв.ед.
2) Нижнее основание трапеции равно:
в = 8+√(30²-18²) = 8+√(900-324) = 8+√576 = 8+24 = 32.
Высота призмы Н = 32*tg30° = 32 / √3 = 18.47521.
Проекции диагоналей призмы на основание - это диагонали трапеции основания:
d₁ = √(18²+8²) = √388 = 19.69772,
d₂ = √(18²+32²)= √1348 = 36.71512.
3) Примем измерения параллелепипеда а, в и с.
Из условия задачи диагональ параллелепипеда равна:
D = a + 10 = в + 13 = с + 29.
Выразим длины рёбер через а:
a + 10 = в + 13
в = а + 10 - 13 = а - 3
a + 10 = с + 29
с = а + 10 - 29 = а - 19.
Квадрат длины диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:
а² +(а - 3)² + (а - 19)² = (а + 10)².
Раскрыв скобки, получаем квадратное уравнение:
2а²-64а+270 = 0 разделим на 2 :
а²-32а+135 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно a:
Ищем дискриминант:D=(-32)^2-4*1*135=1024-4*135=1024-540=484;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
a_1=(√484-(-32))/(2*1)=(22-(-32))/2=(22+32)/2=54/2=27;
a_2=(-√484-(-32))/(2*1)=(-22-(-32))/2=(-22+32)/2=10/2=5.
Второй корень отбрасываем - не удовлетворяет с = а - 19.
Диагональ равна D = a + 10 = 27 + 10 = 37.
Угол с основанием равен α = arc sin (8/37) = arc sin
0.216216 =0.217937
радиан =
12.48689
градусов.