Сторона основания равна а = 2*(r/tg 30°) = (2*1) / (1/√3) = 2√3.
Высота призмы равна двум радиусам шара Н = 2 r = 2 см.
Обозначим вершины треугольника:
- середина ребра СС₁ - точка К,
- точка касания шара грани АВВ₁А₁ - это центр этой грани - точка пересечения её диагоналей - точка Е.
Найдём стороны треугольника АЕК:
АК = √(a²+(Н/2)²) = √(12+1) = √13.
Сторона ЕК равна высоте треугольника основания и по свойству деления биссектрис равна 3r = 3*1 = 3 см. :
Сторона АЕ как половина диагонали равна:
АЕ= √((2/2)²+(2√3/2)²) = √(1+3) = √4 = 2 см.
По соотношению сторон видно, что заданный треугольник - прямоугольный: АК² = АЕ²+ЕК²
13 = 4+9 = 13.
Тогда площадь заданного треугольника S = (1/2)*2*3 = 3 см².