Изображен правильный тетраэдр DABC, площадь боковой поверхности которого равна...

Question

Изображен правильный тетраэдр DABC, площадь боковой поверхности которого равна 108√3см².Точки T и O - середины ребер DC и DA соответственно. В треугольник DTO вписана окружность.
Вычислите площадь сектора, ограниченного двумя радиусами, проведенными в точки касания, и другой окружности, большей 180°

Comments

А сколько градусов углы у маленького трегольника?

---

У правильного тетраэдра все грани - равносторонние треугольники с углами по 60 градусов. Малый треугольник ему подобен, так как имеет общий угол в 60 градусов и стороны, равные половине большого треугольника.

Answer 1

Площадь боковой поверхности правильного тетраэдра равна:
Sбок = (3/4)√3а², где а - длина его стороны.
108√3 =  (3/4)√3а²
Находим а = √(108*4/3) = √(36*4) = 6*2 = 12 см.
Стороны треугольника ДОТ равны половине а, то есть в = 12/2 = 6 см,
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен:
r = b / (2√3) = 6 / (2√3) = 3 / √3 = √3 см.
Радиусы в точки касания делят окружность на 3 дуги, градусная мера которых составляет 360 / 3 = 120°.
Площадь сектора, ограниченного двумя радиусами, проведенными в точки касания, и другой окружности, большей 180° -это 2/3 площади круга: S = (2/3)πr² = π*(2*(√3)²/3=2π см².