Помогите с решением, пожалуйста

Question

Дан 1 ответ

аноним · Answer 1 · 2018-04-02T17:02:51+0000

Решить уравнение: $x^2 \sqrt{x} -33 \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} =32x^{- \frac{5}{6} }$
Для начала найдем ОДЗ уравнения, подкоренное выражение должен иметь положительное значение и знаменатель не равно нулю
$x^2 \sqrt{x} -33 \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} =32\cdot \frac{1}{x^{ \frac{5}{6} }}$
$\left \{ {{x \geq 0} \atop {x\ne 0}} \right. \,\,\,\Rightarrow\,\,\,x\ \textgreater \ 0$
Воспользуемся свойством степеней $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
$x^{2+ \frac{1}{2} }-33x^{ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} }=32\cdot \frac{1}{x^{ \frac{5}{6} }} \\ x^{ \frac{5}{2} }-33x^{ \frac{5}{6} }=32\cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{6} }}$
Пусть $x^{\frac{5}{6} }=t\,\,(t \ \textgreater \ 0)$ , тогда получаем
$\frac{1}{t^3}-33\cdot \frac{1}{t} =32t|\cdot t^3\\ -32t^4-33t^2+1=0|\cdot (-1)\\ 32t^4-33t^2-1=0$
Пусть $t^2=a\,(a \geq 0)$ , тогда получаем
$32a^2+33a-1=0\\ D=b^2-4ac=33^2-4\cdot32\cdot(-1)=1217$
$a_1= \frac{-33- \sqrt{1217} }{64}$ - не удовлетворят условие при a≥0
$a_2= \frac{-33+ \sqrt{1217} }{64}$
Возвращаемся к замене от a
$t^2= \frac{-33+ \sqrt{1217} }{64} \\ t_1= \frac{ \sqrt{-33+ \sqrt{1217} } }{8}$
$t_2=- \frac{ \sqrt{-33+ \sqrt{1217} } }{8}$ - не удовлетворяет условию
Возвращаемся к замене
$x^{\frac{5}{6} }= \frac{ \sqrt{-33+ \sqrt{1217} } }{8} \\ x= \frac{ \sqrt[5]{625680+17936 \sqrt{1217} } }{2}$

Ответ: $\frac{ \sqrt[5]{625680+17936 \sqrt{1217} } }{2}$