Если точки равноудалены от данной прямой, то любые две из них (А и В) могут быть по разные стороны от данной прямой, и поэтому они не лежат на прямой, параллельной данной. Любая другая с ними точка С не лежит на прямой этих двух точек (А и В) . В противном случае, эти три точки не были бы равноудалёнными от прямой (При построении получаются три прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом. Два из них равны, а третий не равен двум другим. Катеты трёх треугольников - это расстояния от точек до прямой, и они получаются неодинаковыми.
Если же известно, что все точки, равноудалённые от данной прямой, лежат по одну сторону от неё, то они все лежат на одной прямой, параллельной данной. И никакая точка, не равноудалённая от данной прямой, не будет лежать на одной прямой с данными точками. Это легко доказать. Выбираем две любые точки из данных. Опускаем перпендикуляры от них на данную прямую. Они параллельны между собой, т. к. перпендикулярны одной и той же прямой. Они равны по условию. Значит получается параллелограмм. Он содержит прямой угол, т. е. это - прямоугольник. В нём противолежащие стороны параллельны. Значит, прямая, проходящая через две данные точки, параллельна данной. Далее проводим через одну из этих точек и через любую третью из данных прямую. По предыдущему, она параллельна данной прямой. Она также совпадает с ранее построенной прямой (если бы это было не так, то через одну и ту же точку проходили бы две различные прямые, параллельные одной и той же прямой, что невозможно по пятому постулату Евклида. Если взять любую неравноудалённую точку, то проводя через неё и одну из данных точек прямую, а затем через каждую из этих точек - перпендикуляры к данной прямой, то в предположении, что неравноудалённая точка будет лежать на той же прямой (которая параллельна данной) , мы получили бы прямоугольник (две стороны параллельны по предположению, две стороны - как перпендикуляры к одной и той же прямой, есть прямой угол) . В нём противолежащие стороны (перпендикуляры) должны быть равны, а на самом деле они не равны, т. к. точки не равноудалены. Противоречие. Значит неравноудалённая точка не лежит с равноудалёнными на одной прямой.