Расстояние от точки С до плоскости α - перпендикуляр к плоскости - отрезок СН.
СВ⊥АВ так как ΔАВС прямоугольный,
НВ - проекция СВ на плоскость α, ⇒
НВ⊥АВ по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.
Значит, ∠СВН = 45° - линейный угол двугранного угла между плоскостью треугольника и плоскостью α.
Из ΔАВС по теореме Пифагора:
СВ = √(АС² - АВ²) = √(289 - 225) = √64 = 8 см
ΔСНВ прямоугольный равнобедренный, по теореме Пифагора
СВ² = СН² + НВ² = 2СН²
64 = 2СН²
СН = √32 = 4√2 см