AB=BC ; AC =4√2 ; MB =MC ; AM =5 .
------------------------------------
S=S(ABC) - ?
обозн. Из треугольника AMB по теореме косинусов:
AB² = AM² +MB² -2AM*MB*cosα ( 1) ;
аналогично из ΔAMB:
AC² =AM² +MC² -2AM*MC*cos(180° -α ) ⇔
AC² =AM² +MC² +2AM*MC*cosα (2) ;
складывая (1) и (2) получаем :
AB²+.AC² =2AM² + 2MB² ⇔ AB²+.AC² =2AM² + 2(BC/2)²⇒4AM²=2(AB²+.AC²) -BC² ;
AM =(1/2)*√(2(AB²+.AC²) -BC² ) . Эту известную формулу для вычисления медианы можно было применить сразу .
5 =(1/2) *√(2(AB² +(4√2)²) - AB²)⇔4*25 =AB² +64 ⇒AB =BC=6 .
Зная стороны треугольника можно вычислить ее площадь .
здесь удобно S = 2S(ABM) =2√7*1*4*2 =4√14 (прим формула Герона).
ответ : 4√14 кв. ед.