Линейное неоднородное уравнение 4 порядка
1) Решаем однородное уравнение
y '''' + y ''' + y '' = 0
Характеристическое уравнение
k^4 + k^3 + k^2 = 0
k^2*(k^2 + k + 1) = 0
k1 = k2 = 0
Другие два корня будут комплексными
k^2 + k + 1 = 0
D = 1 - 4*1*1 = -3
k3 = (-1 - i√3)/2 = -1/2 - i*√3/2
k4 = (-1 + i√3)/2 = -1/2 + i*√3/2
y0 = C1x + C2 + (C3*cos (√3x/2) + C4*sin (√3x/2))*e^(-x/2)
2) Частное решение неоднородного уравнения.
Правая часть P(x) = x^2 + x - 1, поэтому Q(x) = Ax^2 + Bx + C
0 является кратным корнем характеристического уравнения,
поэтому y* = x^2*Q(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2
y* ' = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx; y* '' = 12Ax^2 + 6Bx + 2C
y* ''' = 24Ax + 6B; y* '''' = 24A
Подставляем в уравнение
y* '''' + y* ''' + y* '' = x^2 + x - 1
24A + 24Ax + 6B + 12Ax^2 + 6Bx + 2C = x^2 + x - 1
Коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны
{ 12A = 1
{ 24A + 6B = 1
{ 24A + 6B + 2C = 1
Получаем
{ A = 1/12
{ B = -1/6
{ C = 0
y* = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 = 1/12*x^4 - 1/6*x^3
Общее решение неоднородного уравнения
y(x) = y0 + y* =
C1x+C2+(C3*cos (√3x/2)+C4*sin (√3x/2))*e^(-x/2)+1/12*x^4-1/6*x^3