2sin^2 2x + 7cos2x - 3 = 0

0 голосов
156 просмотров

2sin^2 2x + 7cos2x - 3 = 0


Алгебра (169 баллов) | 156 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
2sin^2 (2x)+7cos(2x)-3=0
используем формулу косинуса двойного угла
cos(2A)=1-2sin^2 A
синуса двойного угла
sin (2A)=2sin A cos A
и основное тригонометрическое тождество
sin^2 A+cos^2 A=1

при єтом sin^2 (2x)=(sin(2x))^2=(2sin xcosx)^2=\\\\2^2(sin x)^2(cos x)^2=4sin^2xcos^2 x=4sin^2 x(1-sin^2 x)
уравнение перепишется в виде
2* 4sin^2 x(1-sin^2x)+7(1-2sin^2 x)-3=0
8sin^2 x-8sin^4 x+7-14sin^2 x-3=0
-8sin^4 x-6sin^2 x+4=0
4sin^4 x+3sin^2 x-2=0
вводим замену (учитывая ограниченность синуса)
sin^2 x=t; -1 \leq sin x \leq 1; 0 \leq sin^2 x \leq 1
sin^4 x=(sin^2 x)^2=t^2; 0 \leq t \leq 1
получим уравнение
4t^2+3t-2=0
D=3^2-4*4*(-2)=9+32=41
t_1=\frac{-3-\sqrt{41}}{2*2}<0 - не подходит
t_2=\frac{-3+\sqrt{41}}{2*2}=\frac{\sqrt{41}-3}{4}
итак изначальное уравнение равносильно уравнению
sin^2 x=\frac{\sqrt{41}-3}{4}
или используя формулу понижения степени
(а именно sin^2 A=\frac{1-cos(2A)}{2})
получим
\frac{1-cos(2x)}{2}=\frac{\sqrt{41}-3}{4}
2-2cos(2x)=\sqrt{41}-3
-2cos(2x)=\sqrt{41}-3-2
cos(2x)=\frac{-\sqrt{41}+5}{2}
2x=^+_-arccos(\frac{\sqrt{41}-5}{2})+2*\pi*k
x=^+_-\frac{1}{2}*arccos(\frac{-\sqrt{41}+5}{2})+\pi*k, k є Z




(408k баллов)
0

вроде все, проверь пожалуйста сам(а) --либо отметь как нарушение чтоб ктото еще проверил решение (так как чтото ответ очень интересный получается)

0

Спасибо большое, вроде как, всё верно