Помогите пожалуйста решить через определительΔ= (матрица) см.вложение

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

1 способ - метод Крамера
$\left \{ {{ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} =1} \atop {\frac{x}{b} - \frac{y}{a} =1}} \right. \\\ \left \{ {{ bx+ay=ab} \atop {ax-by=ab}} \right.$
$a \neq 0; \ b \neq 0$
Составляем определитель:
$\Delta=\begin{vmatrix} b& a \\ a &-b \end{vmatrix}=b\cdot(-b)-a\cdot a=-b^2-a^2$
Составляем определитель, заменив в предыдущем определителе коэффициенты при х на соответствующие свободные члены:
$\Delta_x=\begin{vmatrix} ab& a \\ ab &-b \end{vmatrix}=ab\cdot(-b)-a\cdot ab=-ab^2-a^2b$
По формуле находим х:
$x= \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-ab^2-a^2b}{-b^2-a^2} = \frac{ab^2+a^2b}{b^2+a^2} =\frac{ab(a+b)}{a^2+b^2}$
Составляем определитель, заменив коэффициенты при у в первом определителе на соответствующие свободные члены:
$\Delta_y=\begin{vmatrix} b& ab \\ a & ab \end{vmatrix}=b\cdot ab-ab\cdot a=ab^2-a^2b$
Находим у:
$y= \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{ab^2-a^2b}{-b^2-a^2} = \frac{-ab^2+a^2b}{b^2+a^2} = \frac{ab(a-b)}{a^2+b^2}$
Ответ: $\left( \cfrac{ab(a+b)}{a^2+b^2}; \ \cfrac{ab(a-b)}{a^2+b^2}\right)$

2 способ - метод Гаусса
$\left \{ {{ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} =1} \atop {\frac{x}{b} - \frac{y}{a} =1}} \right. \\\ \left \{ {{ bx+ay=ab} \atop {ax-by=ab}} \right.$
Составляем расширенную матрицу:
$\begin{pmatrix} b& a &ab \\ a& -b &ab \end{pmatrix}$
Первую строку домножаем на а, вторую - домножаем на b:
$\begin{pmatrix} ab& a^2 &a^2b \\ ab& -b^2 &ab^2 \end{pmatrix}$
От элементов первой строки отнимем элементы второй:
$\begin{pmatrix} 0& a^2+b^2 &a^2b-ab^2 \\ ab& -b^2 &ab^2 \end{pmatrix}$
Значит:
$(a^2+b^2)y= a^2b-ab^2 \\\ y= \frac{a^2b-ab^2}{a^2+b^2} = \frac{ab(a-b)}{a^2+b^2}$
Из второго уравнения выражаем х:
$ax=by+ba \\ x= \frac{b}{a} (y+a)$
Заменяем у найденным значением:
$x= \frac{b}{a}\cdot(\frac{ab(a-b)}{a^2+b^2}+a) \\\ x= b\cdot(\frac{b(a-b)}{a^2+b^2}+1) \\\ x= b\cdot\frac{ab-b^2+a^2+b^2}{a^2+b^2} \\\ x= b\cdot\frac{ab+a^2}{a^2+b^2} \\\ x= \frac{ab(b+a)}{a^2+b^2} \\\ x= \frac{ab(a+b)}{a^2+b^2}$
Получаем ответ, совпадающий с ответом, получившимся при решении первым способом.
Ответ: $\left( \cfrac{ab(a+b)}{a^2+b^2}; \ \cfrac{ab(a-b)}{a^2+b^2}\right)$

Artem112_zn (271k баллов) 04 Апр, 18