Пожалуйста, помогите решить и расскажите как решали, чтоб я сам смог решить. Заранее...

Так как (cosx)`=-sinx,
то это интеграл от степенной функции
Решается методом замены переменной
u= cosx
du=-sin dx, значит sinx dx=-du
$= \int {u ^{3} } \,(-du)=- \frac{u^{4}}{4}+C=- \frac{cos^{4}x }{4}+C$

Проверка
$(- \frac{cos^{4}x }{4}+C)`=(- \frac{cos^{4}x }{4})`+(C)` =- \frac{1}{4}(cos ^{4}x)`+0= \\ \\ =- \frac{1}{4}\cdot 4 cos^{3}x\cdot (cosx)`=-cos ^{3}x\cdot (-sinx)=sinx\cdot cos ^{3}x$