В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные к гипотенузе равны 24 и 25...

Question

В прямоугольном треугольнике высота
и медиана, проведенные к гипотенузе
равны 24 и 25 см.Найдите периметр
треугольника.Помогитеее!!!

Comments

тут египетский треугольник с сторонами 30, 40, 50, высота к гипотенузе как раз 24; Решать это можно так - находится кусок гипотенузы между медианой и высотой x^2 = 25^2 - 24^2 = 7^2; x=7; отсюда отрезки гипотенузы, на которые её делит высота, 25+7 = 32 и 18; уже видно (из подобия), что должен получиться египетский треугольник, откуда сразу - ответ.

---

раз там выложили решение, я поясню тем, кто интересуется - почему подобие позволяет сразу написать ответ. Высота делит прямоугольный треугольник на два, и все они друг другу подобны. Отрезки 18 и 32 найдены, и 18/24 = 24/32 = 3/4; в той же пропорции и катеты "большого" треугольника. Остается вспомнить, что такое отношение катетов как раз у египетского треугольника (3,4,5), и гипотенуза 50; отсюда и ответ 30,40,50 как видите, так ответ получить куда проще.

---

Для любителей продвинутых задач - при каких условиях в Пифагоровом треугольнике высота и медиана к гипотенузе образуют еще один Пифагоров треугольник? В этой задаче в треугольнике 30,40,50 высота и медиана с отрезком гипотенузы образуют треугольник 7,24,25.

Answer 1

Медиана М=с/2, откуда гипотенуза с=2М=2*25=50
Высота Н=ав/с, откуда произведение катетов ав=Нс=24*50=1200
катет а=1200/в
По т.Пифагора а²+в²=с²
(1200/в)²+в²=50²
в⁴-2500в²+1200²=0
в²=х
х²-2500х+1440000=0
D=6250000-5760000=490000
х₁=(2500+700)/2=1600
в₁=√1600=40
х₂=(2500-700)/2=900
в₂=√900=30
Периметр треугольника Р=50+40+30=120