1) По теореме косинусов:
2) Угол Р = 180-30-105 = 45°.
Отсюда находим:
.
3) Диагонали делятся пополам. О - точка их пересечения.
Угол АОД равен 180 - Поэтому cos АОД = - cos АОB.
В формуле косинусов меняем знак на плюс.
АД = 
.
4) По теореме косинусов определяем углы треугольника.
cos A =
0.9259259
cos B =
0.7333333
cos С =
-0.42222222
Аrad =
0.3873166
Brad =
0.7475843
Сrad =
2.006691703
Аgr =
22.191607
Bgr =
42.833428
Сgr =
114.9749654.
Треугольник тупоугольный.
5) Неизвестную сторону обозначим х, вторая будет (х + 6).
По теореме косинусов составим уравнение:
.
Возводим в квадрат и раскрываем скобки:
Получаем квадратное уравнение:
.
Сокращаем на 3:
х² + 6х - 135 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=6^2-4*1*(-135)=36-4*(-135)=36-(-4*135)=36-(-540)=36+540=576;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√576-6)/(2*1)=(24-6)/2=18/2=9;
x_2=(-√576-6)/(2*1)=(-24-6)/2=-30/2=-15.
Отрицательный корень отбрасываем.
Периметр треугольника равен Р = 9 + (9 + 6) + 21 =
= 9 + 15 + 21 = 45 см.
6) Известно: две стороны а , в и
угол В,
противолежащий одной из них.
Возможны 4 варианта:
1)
a›b, a*sin B › b – задача не имеет решения;
2)
a›b, a*sin B = b – задача имеет одно решение: угол
А - прямой;
3)
a›b, a*sin B ‹ b ‹ а – задача имеет два решения:
угол А –или острый, или тупой;
4)
а ≤ b – одно решение: угол А – острый.
В нашей задаче a*sinB = РК*sinP = 
.
То есть, задача имеет 2 решения.
.
Ответ: угол F = 60° или 120°.